문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 비관성 좌표계 (문단 편집) == [[라그랑지언]]과 [[해밀토니언]] == 일반적인 비관성 좌표계의 상황에 대해 라그랑주 역학과 해밀턴 역학을 적용해보고자 한다. 그 첫 번째 과정은 비관성 좌표계의 물리량을 써서 나타낸 재작성된 라그랑지언을 찾는 것으로부터 시작한다. 우선 관성 좌표계의 라그랑지언은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \begin{aligned} \mathscr{L}_{0}=\frac{1}{2}mv_{f}^{2} -U \end{aligned} )] }}} 로 나타낸다. 이때, 고려하는 비관성 좌표계의 라그랑지언은 아래 식 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \begin{aligned} \mathbf{v_{f}}=\mathbf{V}+\mathbf{v_{r}}+\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} \end{aligned} )] }}} 을 참고하여 다음과 같이 쓸 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \begin{aligned} \mathscr{L} &=\frac{1}{2}m [V^{2}+v_{r}^{2}+(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r})^{2} +2 \mathbf{V} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{v_{r}}+2 \mathbf{V} \boldsymbol{\cdot} (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r})+2 \mathbf{v_{r}} \boldsymbol{\cdot} (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}) ]-U \\ &=\frac{1}{2}m [V^{2}+v_{r}^{2}+[\omega^{2}r^{2}- (\boldsymbol{\omega} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r})^{2} ]+2 \mathbf{V} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{v_{r}}+2 \mathbf{V} \boldsymbol{\cdot} (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r})+2 \mathbf{v_{r}} \boldsymbol{\cdot} (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}) ]-U \end{aligned} )] }}} 이 라그랑지언이 실제로 비관성 좌표계의 운동 방정식을 가져다 주는지 조사해보자. 오일러-라그랑주 방정식에 의해 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \begin{aligned} \frac{d}{dt}\frac{\partial \mathscr{L} }{\partial \mathbf{v_{r}} }&=m \mathbf{a_{r}}+ m\mathbf{\dot{V}} + (\boldsymbol{\dot \omega} \times \mathbf{r}) + (\boldsymbol{ \omega} \times \mathbf{\mathbf{v_{r} }}) \\ \\ \frac{\partial \mathscr{L} }{\partial \mathbf{\mathbf{r}} }&=m\omega^{2}\mathbf{r}-m(\boldsymbol{\omega} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r}) \boldsymbol{\omega}-m( \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{V} )-m( \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v_{r}} )-\boldsymbol{\nabla}U \\&=-m\boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} )-m( \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{V} )-m( \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v_{r}} )-\boldsymbol{\nabla}U \end{aligned} )] }}} 이상에서 둘을 같다 놓고 아래와 같이 정리하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \begin{aligned} m\mathbf{a_{r}}&=-\boldsymbol{\nabla}U-m[\mathbf{\dot V}+(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{V} ) ]_{\text{rotating}}-m\boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} )-2m( \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v_{r}} ) \\&=-\boldsymbol{\nabla}U-m[\mathbf{\dot V} ]_{\text{fixed}}-m\boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} )-2m( \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v_{r}} ) \\&=m\mathbf{a_{f}}-m\mathbf{\ddot{R}}-m\boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} )-2m( \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v_{r}} ) \end{aligned} )] }}} 으로 동일한 방정식을 얻음을 알 수 있다. 추가적으로 원심력에 대한 퍼텐셜은 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \begin{aligned} U_{\text{cen}}=\frac{1}{2}m(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r})^{2} \end{aligned} )] }}} 이제 해밀토니언을 얻자. 해밀토니언은 라그랑지언의 르장드르 변환으로 주어진다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \begin{aligned} \mathcal{H}=\mathbf{p_{r}} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{v_{r}}-\mathscr{L} \end{aligned} )] }}} 한편, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \begin{aligned} \mathbf{p_{r}}&=\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \mathbf{v_{r} }} \\ &=m \mathbf{v_{r}}+m\mathbf{V}+m(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}) \end{aligned} )] }}} 이므로 해밀토니언은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \begin{aligned} \mathcal{H}&= m v_{r}^{2}+m \mathbf{V}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{v_{r}}+m\mathbf{v_{r}} \boldsymbol{\cdot}(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r})-\mathscr{L} \\&=\frac{1}{2}mv_{r}^{2}-\frac{1}{2}mV^{2}-\frac{1}{2}m(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r})^{2}-m\mathbf{V} \boldsymbol{\cdot} (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r})+U \\&=\frac{[\mathbf{p_{r}}-m\mathbf{V}-m(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}) ]^{2}}{2m}-\frac{1}{2}mV^{2}-\frac{1}{2}m(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r})^{2}-m\mathbf{V} \boldsymbol{\cdot} (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r})+U \\&=\frac{p_{r}^{2}}{2m}-\mathbf{p_{r} } \boldsymbol{\cdot} [\mathbf{V}+(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}) ]+U \end{aligned} )] }}} 으로 써진다. 이 계는 일반화 좌표와 좌표의 변환식이 시간에 의존[* 회전과 병진이 같이 이루어지므로 시간에 명백히 의존한다.]하는 비 스클로노믹한 상황이기에 [math(\mathcal{H} \neq E)]이다. 또한, 라그랑지언이 명백한 시간의 함수가 아니기 때문에 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \frac{d \mathcal{H}}{dt}=-\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial t}=0 )] }}} 으로 해밀토니언은 보존량이다. 또한, 위 논의에서 추가적으로 다음을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \begin{aligned} \mathbf{p_{r}}&=m [\mathbf{V}+\mathbf{v_{r}}+(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}) ] \\&=m\mathbf{v_{f}}\\&=\mathbf{p_{f}} \end{aligned} )] }}} 따라서 관성 좌표계에서의 에너지 [math(E_{0})]와 비관성 좌표계의 해밀토니언을 비관성 좌표계의 에너지 [math(E)]라 취급한다면 그 차는 다음과 같이 주어진다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \begin{aligned} E-E_{0}=-\mathbf{p_{f} } \boldsymbol{\cdot} [\mathbf{V}+(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}) ] \end{aligned} )] }}} 참고적으로 위 결과에서 [math(\mathbf{\dot{p}_{r}}=\mathbf{\dot{p}_{f}})]를 얻으므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \begin{aligned} \frac{\partial \mathscr{L}_{0}}{\partial \mathbf{r'}}=\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \mathbf{r}} \end{aligned} )] }}} 를 얻는데, 이것을 만족하려면 다음이 되어야 한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \begin{aligned} \frac{\partial U}{\partial \mathbf{r'}}=\frac{\partial U}{\partial \mathbf{r}} \end{aligned} )] }}} 이것은 곧 그레이디언트 연산이므로 비관성 좌표계에서의 그레이디언트 연산은 곧 관성 좌표계에서의 그레이디언트 연산이 같다는 것을 의미한다. 그렇기 때문에 위에서 [math(\boldsymbol{\nabla} U)]를 관성 좌표계에서의 힘으로 해석해도 무리가 없는 것이다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기